Question

已知一元二次方程x²＋ax＋a－2＝0．
（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设a＜0，当二次函数y＝x²＋ax＋a－2的图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）因为△＝a²－4(a－2)＝(a－2)²＋4＞0，
所以不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设x₁、x₂是y＝x²＋ax＋a－2＝0的两个根，则x₁＋x₂＝－a，x₁•x₂＝a－2，因两交点的距离是，
所以|x₁－x₂|＝＝．即：(x₁－x₂)²＝13
变形为：(x₁＋x₂)²－4x₁•x₂＝13所以：(－a)²－4(a－2)＝13
整理得：(a－5)(a＋1)＝0解方程得：a＝5或－1
又因为：a＜0，所以：a＝－1
所以：此二次函数的解析式为y＝x²－x－3．
（3）设点P的坐标为(x₀，y₀)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于，
所以：AB＝所以：S_△PAB＝AB•|y₀|＝
所以：＝
即：|y₀|＝3，则y₀＝±3
当y₀＝3时，x₀²－x₀－3＝3，即(x₀－3)(x₀＋2)＝0
解此方程得：x₀＝－2或3
当y₀＝－2时，x₀²－x₀－3＝－3，即x₀(x₀－1)＝0
解此方程得：x₀＝0或1
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)．解析:
（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b²-4ac的值的符号就可以了，（2）根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．(3)是二次函数综合应用问题和三角形的综合应用