Question

如图，已知二次函数y=x²-3x-4的图象交x轴于A、B两点．
（1）若点P在线段AB上运动，作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，求PQ的最大值；
（2）已知点D（5，6）在抛物线上，若点M在线段AD上运动，作MN⊥x轴，交抛物线于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的运动过程中，求△ADN面积的最大值．

Answer 1

（1）当Q为抛物线的顶点时，PQ取得最大值．
∵y=x²-3x-4=（x-

3

2

）²-

25

4

，
∴点Q坐标为（

3

2

，-

25

4

），
∴PQ的最大值为

25

4

；

（2）∵D（5，6），A（-1，0），
设直线AD的解析式为：y=kx+b，则

5k+b=6 -k+b=0

，
解得

k=1 b=1

．
∴直线AD的解析式为：y=x+1；
设M（x，x+1），则N（x，x²-3x-4），
∴MN=x+1-（x²-3x-4）=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴当x=2时，MN的最大值为9；

（3）S_△ADN=S_△ANM+S_△MDN=

1

2

MN•（5+1）=3MN，
∴由（2）的结论可得，当x=2时，△ADN面积的最大值为27．