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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1=
     
    ；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2=
     
    ；如图3，正三角精英家教网形的边长an=
     
    （用含n的代数式表示）．
    分析：（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，由特殊角的三角函数值可得，OD=A1D-OA1=
    		3
    2
    a1-1，再由勾股定理即可求出a1的值；
    （2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，由特殊角的三角函数值可得OE=2A1A2-OA1=
    		3
    a2-1，再由Rt△OB2E勾股定理即可求出a2的值；
    （3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=
    		3
    2
    nan-1，在Rt△OBnF中利用勾股定理可得，an=
    4
    		3
    n
    3n2+1
    ．
    解答：精英家教网解：（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，则OD=A1D-OA1=
    		3
    2
    a1-1，
    在Rt△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，
    即12=（
    1
    2
    a1）2+（
    		3
    2
    a1-1）2，
    解得，a1=
    		3
    ；

    （2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，则OE=2A1A2-OA1=
    		3
    a2-1，
    在Rt△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，
    即12=（
    1
    2
    a2）2+（
    		3
    a2-1）2，
    解得，a2=
    8
    		3
    13
    ；

    （3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=
    		3
    2
    nan-1，
    在Rt△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，
    即12=（
    1
    2
    an）2+（
    		3
    2
    nan-1）2，
    解得，an=
    4
    		3
    n
    3n2+1
    ．

    故答案为：
    		3
    ，
    8
    		3
    13
    ，
    4
    		3
    n
    3n2+1
    ．
    点评：本题考查的是正多边形与圆及特殊角的三角函数值，根据题意作出辅助线，找出规律是解答此题的关键．
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    如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点精英家教网P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．
    （1）求PQ的长；
    （2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？

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    精英家教网如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，作BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M．sin∠CBD=
    13
    ．则OM=
     
    ．

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    A、
    2
    		14
    3
    B、
    28
    9
    C、
    2
    		7
    3
    D、
    80
    9

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