Question

【题目】已知抛物线y＝ax2﹣x+c经过A(﹣2，0)，B(0，2)两点，动点P，Q同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P沿x轴正方向运动，动点Q沿y轴正方向运动，连接PQ，设运动时间为t秒

(1)求抛物线的解析式；

(2)当BQ＝AP时，求t的值；

(3)随着点P，Q的运动，抛物线上是否存在点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请求出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－x＋2；（2）当BQ＝AP时，t＝1或t＝4；（3）存在．当t＝时，抛物线上存在点M（1，1），或当t＝时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．

【解析】

（1）把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝ax2－x＋c，求出解析式即可;

（2）BQ=AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=AP可求t值．
（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性．

（1）∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2）两点，

∴，解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2．

（2）由题意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t．

①当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ＝2－t．

∵BQ＝AP，∴2﹣t＝（2＋t），∴t＝1．

②当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ＝t﹣2．

∵BQ＝AP，∴t﹣2＝（2+t），∴t＝4．

∴当BQ＝AP时，t＝1或t＝4．

（3）存在．

作MC⊥x轴于点C，连接OM．

设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为－m2－m＋2．

当△MPQ为等边三角形时，MQ＝MP，

又∵OP＝OQ，

∴点M点必在PQ的垂直平分线上，

∴∠POM＝∠POQ＝45°，

∴△MCO为等腰直角三角形，CM＝CO，

∴m＝－m2－m＋2，

解得m1＝1，m2＝﹣3．

∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．

①如图，

当M的坐标为（1，1）时，

则有PC＝1﹣t，MP2＝1＋（1﹣t）2＝t2﹣2t＋2，

PQ2＝2t2，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP＝PQ，

∴t2﹣2t＋2＝2t2，

解得t1＝，t2＝（负值舍去）．

②如图，

当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，

则有PC＝3＋t，MC＝3，

∴MP2＝32＋（3＋t）2＝t2＋6t＋18，PQ2＝2t2，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP＝PQ，

∴t2＋6t＋18＝2t2，

解得t1＝，t2＝（负值舍去）．

∴当t＝时，抛物线上存在点M（1，1），或当t＝时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．