Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x₁，x₂是原方程的两根，且|x₁-x₂|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b²-4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）根据根与系数的关系求得x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1；然后由已知条件“|x₁-x₂|=2”可以求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
解答：（1）证明：∵△=（m+3）²-4（m+1）…1分
=（m+1）²+4…3分
∵无论m取何值，（m+1）²+4恒大于0
∴原方程总有两个不相等的实数根…4分

（2）∵x₁，x₂是原方程的两根
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1…5分
∵|x₁-x₂|=2∴（x₁-x₂）²=（2）²
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8…7分
∴[-（m+3）]²-4（m+1）=8∴m²+2m-3=0…9分
   解得：m₁=-3，m₂=1…10分
   当m=-3时，原方程化为：x²-2=0
             解得：x₁=，x₂=-…11分
   当m=1时，原方程化为：x²+4x+2=0
             解得：x₁=-2+，x₂=-2-…12分
点评：本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．