Question

3．如图1，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE=DF，连接BF与DE相交于点G．
（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；
（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH=DG+BG．

Answer 1

分析 （1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°．
（2）如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可证明2GH=DG+GB．

解答 （1）解：如图2中，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=DB，∠A=∠FDB=60°，
在△DAE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠A=∠BDF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△BDF，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，
∴∠BGD=180°-∠BGE=120°．

（2）证明：如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．

∵∠MGB=60°，GM=GB，
∴△GMB是等边三角形，
∴∠MBG=∠DBC=60°，
∴∠MBD=∠GBC，
在△MBD和△GBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{MB=GB}\\{∠MBD=∠GBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△MBD≌△GBC，
∴DM=GC，∠M=∠CGB=60°，
∵CH⊥BG，
∴∠GCH=30°，
∴CG=2GH，
∵CG=DM=DG+GM=DG+GB，
∴2GH=DG+GB．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．