Question

已知抛物线图象交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．
（1）求该二次函数解析式．
（2）D为抛物线第三象限内一动点，过D作DQ⊥x轴交直线AC于Q，求线段DQ的最大值．
（3）在抛物线对称轴上是否存在点E，使△OCE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A（-3，0）、B（1，0），C（0，-3）坐标分别代入求出a、b、c的值即可；
（2）由题意可知当D为抛物线的顶点时，则线段DQ最长，长度为D和Q点的纵坐标绝对值的差；
（3）在抛物线对称轴上是垂直点E，使△OCE为等腰三角形，以OC为腰，用圆规以OC长度，在C点画与对称轴的交点，有两个；以OC为腰，用圆规以OC长度，在O点画与对称轴的交点，有两个；若OC非腰，OC中垂线与对称轴交与E点，有一个；再分别求出即可．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A（-3，0）、B（1，0），C（0，-3）坐标分别代入得：

0=9a-3b+c 0=a+b+c -3=c

，
解得：

a=1 b=2 c=-3

，
∴y=x²+2x-3；
（2）设点D（m，m²+2m-3）（-3＜m＜0），过点A（-3，0）和点C（0，-3）的直线解析式为y=kx+b，则

0=-3k+b -3=b

，
解得：

k=-1 b=-3

，
∴直线的解析式为y=-x-3，
∵DQ⊥AB，
∴Q（m，-m-3）
∴DQ=-m-3-（m²+2m-3）=-（m+

3

2

）²+

9

4

∵-1＜0，
∴-（m+

3

2

）²+

9

4

有最大值，当m=-

3

2

时取最大值
最大值为

9

4

，即DQ的最大值为

9

4

；

（3）在抛物线对称轴上是垂直点E，使△OCE为等腰三角形，
理由如下：以OC为腰，用圆规以OC长度，在C点画与对称轴的交点，有两个，分别是（-1，-

2

）和（-1，2

2

）；
以OC为腰，用圆规以OC长度，在O点画与对称轴的交点，有两个，分别是（-1，-3-2

2

）和（-1，-3+2

2

）；
若OC非腰，OC中垂线与对称轴交与E点，有一个，是（-1，-

3

2

）
所以点E坐标为（-1，-2

2

）（-1，2

2

）（-1，-3+2

2

）（-1，-3-2

2

）（-1，-

3

2

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和等腰三角形的判定和性质以及用待定系数法求出一次函数的解析式．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果，题目的难度中等．