Question

16．已知x₁，x₂，x₃，…x₂₀₁₆都是不等于0的有理数，若y₁=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$，求y₁的值．
当x₁＞0时，y₁=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}}$=1；当x₁＜0时，y₁=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$=$\frac{-{x}_{1}}{{x}_{1}}$=-1，所以y₁=±1
（1）若y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$，求y₂的值
（2）若y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$，则y₃的值为±1或±3；
（3）由以上探究猜想，y₂₀₁₆=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$+…+$\frac{|{x}_{2016}|}{{x}_{2016}}$共有2017个不同的值，在y₂₀₁₆这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于4032．

Answer 1

分析 （1）根据$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$=±1，$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=±1，讨论计算即可．
（2）方法同上．
（3）探究规律后，利用规律解决问题即可．

解答 解：（1）∵$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$=±1，$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=±1，
∴y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=±2或0．

（2）∵$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$=±1$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=±1，$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=±1，
∴y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=±1或±3．
故答案为±1或±3，

（3）由（1）（2）可知，
y₁有两个值，y₂有三个值，y₃有四个值，…，
由此规律可知，y₂₀₁₆有2017个值，
最大值为2016，最小值为-2016，
最大值与最小值的差为4032．
故答案分别为2017，4032．

点评 本题考查规律题、绝对值等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．