Question

如图，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），且OA=

13

．
（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据勾股定理求出AB的长，得出点A的坐标，再代入计算即可，
（2）根据E是DC的中点，E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵OB=2，OA=

13

，
∴AB=3，
∴A点的坐标为（2，3），
∴k=xy=6；

（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，
∴点E的纵坐标为

3

2

，
∵点E在双曲线上，
∴点E的坐标为（4，

3

2

），
设直线MN的函数表达式为y=k₁x+b，将点A、E代入得：

3=2k1+b 3 2 =4k1+b

，
解得k₁=-

3

4

，b=

9

2

，
∴直线MN的函数表达式为y=-

3

4

x+

9

2

．

（3）结论：AN=ME；
理由：由y=0可得x=6，由x=0可得y=

9

2

，
则点M（6，0），N（0，

9

2

），
延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF=

3

2

，
∵CM=6-4=2=AF，EC=NF，
在Rt△ANF和Rt△MEC中，

AF=CM ∠NFA=∠ECM EC=NF

，
∴Rt△ANF≌Rt△MEC，
∴AN=ME．

点评：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是勾股定理、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式，求得E的坐标是关键．