【题目】如图,在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于点O.若BO=6,PO=2,则AP的长,AO的长分别为__________.
【答案】4,.
【解析】
先通过条件证明△ABP≌△ACQ,得到∠ABP=∠CAQ,可证明△APO∽△BPA,得出,则AP2=OPBP,可求出AP,设OA=x,则AB=2x,在Rt△ABE中,由AE2+BE2=AB2,得出x的值即可得解.
解:解:∵△ABC是等边三角形
∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ=60°,AB=AC=BC,
∵在△ABP和△ACQ中
,
∴△ABP≌△ACQ (SAS),
∴∠ABP=∠CAQ,
∵∠APO=∠BPA,
∴△APO∽△BPA,
∴,
∴AP2=OPBP,
∵BO=6,PO=2,
∴BP=8,
∴AP2=2×8=16,
∴AP=4,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAQ+∠CAQ=60°,
∴∠BAQ+∠ABP=60°,
∵∠BOQ=∠BAQ+ABP,
∴∠BOQ=60°,
过点B作BE⊥OQ于点E,
∴∠OBE=30°,
∵OB=6,
∴OE=3,BE=3,
∵,
设OA=x,则AB=2x,
在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,
∴(x+3)2+(3)2=(2x)2,
解得:x=或x=1-(舍去),
∴AO=1+.
故答案为:4,.
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【题目】探究:如图1和图2,四边形中,已知,,点、分别在、上,.
(1)①如图1,若、都是直角,把绕点逆时针旋转90°至,使与重合,直接写出线段、和之间的数量关系____________________;
②如图2,若、都不是直角,但满足,线段、和之间①中的结论是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(2)拓展:如图3,在中,,,点、均在边上,且,若,求的长.
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【题目】如图1,与都是等腰直角三角形,直角边,在同一条直线上,点、分别是斜边、的中点,点为的中点,连接,,,,.
(1)观察猜想:
图1中,与的数量关系是______,位置关系是______.
(2)探究证明:
将图1中的绕着点顺时针旋转,得到图2,与、分别交于点、,判断的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:
把绕点任意旋转,若,,请直接写出面积的最大值.
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【题目】如图,中,,点是边上的中点,点是边上的一个动点,延长到,使,作,其中点在上.
(1)如图①,若,则_______.
(2)如图②,若,求的值;
(3)如图③,若,延长到点,使得,连接,在点运动的过程中,探究:当的值为多少时,线段与的长度和取得最小值?
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【题目】已知:⊙O的两条弦,相交于点,且.
(1)如图1,连接,求证:.
(2)如图2,在,在上取一点,使得,交于点,连接.
①判断与是否相等,并说明理由.
②若,,求的面积.
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【题目】如图1,折叠矩形纸片ABCD,具体操作:①点E为AD边上一点(不与点A,D重合),把△ABE沿BE所在的直线折叠,A点的对称点为F点;②过点E对折∠DEF,折痕EG所在的直线交DC于点G,D点的对称点为H点.
(1)求证:△ABE∽△DEG.
(2)若AB=3,BC=5
①点E在移动的过程中,求DG的最大值
②如图2,若点C恰在直线EF上,连接DH,求线段DH的长.
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【题目】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在同一条公路上,匀速行驶,相向而行,到两车相遇时停止.甲车行驶一段时间后,因故停车0.5小时,故障解除后,继续以原速向B地行驶,两车之间的路程y(千米)与出发后所用时间x(小时)之间的函数关系如图所示.
(1)求甲、乙两车行驶的速度V甲、V乙.
(2)求m的值.
(3)若甲车没有故障停车,求可以提前多长时间两车相遇.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴,交于A、B两点,点C是BO的中点且
(1)求直线AC的解析式;
(2)若点M是直线AC的一点,当时,求点M的坐标.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).下列结论:①2a﹣b=0;②(a+c)2<b2;③当﹣1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,得到抛物线y=(x﹣2)2﹣2.其中正确的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
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