Question

19．如图，△ABC内接于⊙O，OD交BC于点H，且OH=DH，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，连接EH，若OH=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，EH=$\frac{3}{2}$，则AC=5．

Answer 1

分析 延长BE、AC交于点P，连接OB，过点C作CR⊥AB，在Rt△BOH中根据半径及∠BOH求得BH、BC的长，证△ABE≌△APE得BE=PE、AB=AP，结合BH=CH可得CP=2HE=3，设AC=m，则AB=m+3，在Rt△ACR中表示出CR、AR的长，在Rt△BCR中根据勾股定理可求得m的值，即AC的长．

解答 解：如图，延长BE、AC交于点P，连接OB，过点C作CR⊥AB于点R，
在Rt△BOH中，OB=OD+OH=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BOH=60°，
∴BH=OB•sin60°=$\frac{7}{2}$，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=7，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠AEP=90°，
在△ABE和△APE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠PAE}\\{AE=AE}\\{∠AEB=∠AEP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△APE（ASA），
∴BE=PE，AB=AP，
∵BH=CH，
∴HE是△BCP的中位线，
∴CP=2HE=3，
设AC=m，则AB=AP=m+3，
在Rt△ACR中，∠RAC=60°，
∴AR=$\frac{1}{2}$m，CR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴BR=AB-AR=m+3-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$m+3，
在Rt△BCR中，BR²+CR²=BC²，即（$\frac{1}{2}$m+3）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）²=7²，
解得：m=5或m=-8（舍），
∴AC=5．
故答案是：5．

点评 此题考查了三角形外接圆与圆心、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定等知识．该题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．