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(2010•广州)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=-x+b交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.

【答案】分析:(1)要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点E在OA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可;②如果点E在AB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积;
(2)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化.
解答:解:(1)∵四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),
∴B(3,1),
若直线经过点A(3,0)时,则b=
若直线经过点B(3,1)时,则b=
若直线经过点C(0,1)时,则b=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图1,
此时E(2b,0)
∴S=OE•CO=×2b×1=b;
②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2
此时E(3,),D(2b-2,1),
∴S=S-(S△OCD+S△OAE+S△DBE
=3-[(2b-2)×1+×(5-2b)•(-b)+×3(b-)]
=b-b2
∴S=

(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积.
由题意知,DM∥NE,DN∥ME,
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知,∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED,
∴∠MED=∠MDE,
∴MD=ME,
∴平行四边形DNEM为菱形.
过点D作DH⊥OA,垂足为H,设菱形DNEM的边长为a,
由题意知,D(2b-2,1),E(2b,0),
∴DH=1,HE=2b-(2b-2)=2,
∴HN=HE-NE=2-a,
则在Rt△DHN中,由勾股定理知:a2=(2-a)2+12
∴a=
∴S四边形DNEM=NE•DH=
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为
点评:本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题,看一个图形的面积是否变化,关键是看决定这个面积的几个量是否变化,本题题型新颖,是个不可多得的好题,有利于培养学生的思维能力,但难度较大,具有明显的区分度.
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(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
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