Question

2．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边，∠B的平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E．已知CE=4，则BD的长为（　　）

• A． 5
• B． 8
• C． $\sqrt{73}$
• D． 7

Answer 1

分析 延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．

解答 证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．
∵BE⊥EC，
∴∠FEB=∠CEB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE，
又∵BE=BE，
∴△BFE≌△BCE （ASA）．
∴FE=CE．
∴CF=2CE．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD+∠EDC=90°．
又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．
∴△ADB≌△AFC．
∴FC=DB，
∴BD=2EC=8．
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．