如图,AB是⊙O的弦,D是半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于F,且CE=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sin A=,求⊙O的半径.
(1)连接OB,通过证明∠OBC=90°,从而证明BC是⊙O的切线
(2)∠ABF=30° (3)
解析试题分析:解:
(1)证明:连接OB.∵OA=OB,∴∠A=∠OBE.
∵CE=CB,∴∠CEB=∠EBC,
∵∠AED =∠EBC,∴∠AED = ∠EBC,
又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(2)
∵CD垂直平分OA,∴OF=AF,
又OA=OF,∴OA=OF=AF,∴∠O=60°,∴∠ABF=30°;
(3)作CG⊥BE于G,则∠A=∠ECG.
∵CE=CB,BD=10,∴EG=BG=5,
∵sin∠ECG="sin" A =,∴CE=13,CG=12.又CD=15,∴DE=2.
∵△ADE∽△CGE,∴,即
,
∴AD=,∴OA=
,即⊙O的半径是
.
考点:圆的相关知识和相似形
点评:该题所应用的考点较多,主要是圆的知识点,其中包括切线的证明和圆心角和圆周角的关系,这些都要求学生必须掌握。
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