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    （2008•朝阳区二模）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．
    问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．

    【答案】分析：连接DE、EF、DF．（1）当点G在线段BE上时，如图①，在EF上截取EH使EH=BG．由D、E、F是等边△ABC三边中点，可得△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD，可证明△DBG≌△DEH，然后即可证明；
    （2）当点G在射线EC上时，如图②，在EF上截取EH使EH=BG．由（1）可证△DBG≌△DEH．可得DG=DH，∠BDG=∠EDH．由∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°，可得∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°，即可证明．
    （3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．
    解答：证明：连接DE、EF、DF．
    （1）当点G在线段BE上时，如图①，
    在EF上截取EH使EH=BG．
    ∵D、E、F是等边△ABC三边中点，
    ∴△DEF、△DBE也是等边三角形且DE=AB=BD．
    在△DBG和△DEH中，
    ∴△DBG≌△DEH．
    ∴DG=DH．
    ∴∠BDG=∠EDH．
    ∵∠BDE=∠GDE+∠BDG=60°，
    ∴∠GDH=∠GDE+∠EDH=60°
    ∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．

    （2）当点G在射线EC上时，如图②，
    在EF上截取EH使EH=BG．
    由（1）可证△DBG≌△DEH．
    ∴DG=DH，∠BDG=∠EDH．
    ∵∠BDE=∠BDG-∠EDG=60°，
    ∴∠GDH=∠EDH-∠EDG=60°．
    ∴在直线EF上存在点H使得△DGH是等边三角形．

    （3）当点G在BC延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．
    综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．
    点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进行解题．
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    （1）当CA边落在y轴上（其中旋转角为锐角）时，一条抛物线经过A、C两点且与直线AA′相交于x轴下方一点D，如果S△AOD=9，求这条抛物线的解析式；
    （2）继续旋转△CA′O′，当以CA′为直径的⊙P与（1）中抛物线的对称轴相切时，圆心P是否在抛物线上，请说明理由．

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    （2）继续旋转△CA′O′，当以CA′为直径的⊙P与（1）中抛物线的对称轴相切时，圆心P是否在抛物线上，请说明理由．

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