Question

16．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个点，连结BE，把△ABE沿BE折叠得△FBE，射线EF交BC于点G，连结CF，已知AD=nAB（n＞1）
（1）当点G与点C重合时，如图2所示：求证：BC=CE，用含n的代数式表示$\frac{AE}{AD}$的值；
（2）当DE=2AE，且S_△BFC：S_矩形ABCD=1：8时，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据等角对等边得：BC=CE；设由折叠的性质得：AE=x，则ED=AD-x=nAB-x，在直角△ECD中，由勾股定理列方程得：（nAB-x）²+AB²=（nAB）²，求出x的值，计算结论即可；
（2）如图3，作辅助线，构建相似三角形，根据面积的比求MH=4FH，设FH=x，则MF=3x，AB=MH=BF=4x，利用勾股定理和相似分别表示BH=$\sqrt{B{F}^{2}-F{H}^{2}}$=$\sqrt{15}$x，GH=$\frac{\sqrt{15}}{15}$x，证明△EMF∽△GFH，得EF=3FG，设FG=y，则EF=3y，由AD=nAB得出n的值．

解答 解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=nAB，AB=DC，
∴∠AEB=∠EBC，
由折叠得：∠AEB=∠BEC，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=EC，
∵∠D=90°，
∴ED²+DC²=EC²，
设AE=x，则ED=AD-x=nAB-x，
则（nAB-x）²+AB²=（nAB）²，
解得：x=nAB-AB$\sqrt{{n}^{2}-1}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{nAB-AB\sqrt{{n}^{2}-1}}{nAB}$=$\frac{n-\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$；
（2）如图3，过F作MH⊥BC，则MH⊥AD，
∴MH=AB，
S_△BFC=$\frac{1}{2}$BC•FH，
S_矩形ABCD=BC•MH，
∵$\frac{{S}_{△BFC}}{{S}_{矩形ABCD}}$=$\frac{1}{8}$=$\frac{\frac{1}{2}BC•FH}{BC•MH}$，
∴MH=4FH，
设FH=x，则MF=3x，AB=MH=BF=4x，
Rt△BFH中，BH=$\sqrt{B{F}^{2}-F{H}^{2}}$=$\sqrt{15}$x，
∵∠BHF=∠FHG=90°，∠BFH=∠HGF，
∴△BHF∽△FHG，
∴$\frac{BH}{FH}=\frac{FH}{GH}$，
∴FH²=BH•GH，
∴x²=$\sqrt{15}$x•GH，
GH=$\frac{\sqrt{15}}{15}$x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△EMF∽△GFH，
∴$\frac{MF}{FH}=\frac{EF}{FG}$=3，
∴EF=3FG，
设FG=y，则EF=3y，
由（1）同理得：EG=BG，
3y+y=$\sqrt{15}$x+$\frac{\sqrt{15}}{15}$x，
$\frac{y}{x}$=$\frac{14}{15}\sqrt{15}$，
∵AE=EF=3y，
∴DE=2AE=6y，
∴AD=9y，
由AD=nAB得：n=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{9y}{4x}$=$\frac{9}{4}$×$\frac{4\sqrt{15}}{15}$=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、翻折的性质、三角形相似的性质和判定、勾股定理、三角形和矩形面积，通过设未知数，找等量关系列方程解决问题，本题第二问有难度，作出辅助线关键．