Question

已知：在△ABC中，∠CAB=，且，AP平分∠CAB．
【小题1】如图1，若，∠ABC=32°，且AP交BC于点P，试探究线段
AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；
答：线段AB，AC与PB之间的数量关系为：___________________________．

【小题2】如图2，若∠ABC=，点P在△ABC的内部，且使∠CBP=30°，
求∠APC的度数（用含的代数式表示）

Answer 1

【小题1】AB－AC= AB－AD=DB=PB
【小题2】∠APC=120°＋∠APC=120°＋解析:
解：（1） AB－AC= PB；  
证明：在AB上截取AD，使AD=AC．（如图7）
∵AP平分∠CAB，
∴∠1=∠2．
在△ACP和△ADP中，
                 AC =AD，
∠1 =∠2，
AP=AP，
∴△ACP≌△ADP．  
∴∠C =∠3．
∵△ABC中，∠CAB=="2×21°=42°" ，∠ABC=32°，
∴∠C =180°－∠CAB－∠ABC =180°－42°－32° = 106°．
∴∠3 =106°．
∴∠4 =180°－∠3=180°－106°=74°，
∠5 =∠3－∠ABC=106°－32°=74°．
∴∠4 =∠5．
∴PB=DB．
∴AB－AC= AB－AD=DB=PB． 
（2）方法一：延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM．（如图8） 

∵AP平分∠CAB，∠CAB=，
∴∠1=∠2==．
在△AMP和△ABP中，
            AM =AB，
∠1 =∠2，
AP=AP，
∴△AMP≌△ABP．  
∴PM=PB，∠3 =∠4．  
∵∠ABC=60°－，∠CBP=30°，
∴∠4=(60°－)－30° =30°－．
∴∠3 =∠4 =30°－．  ∵△AMB中，AM=AB，
∴∠AMB="∠ABM" =(180°－∠MAB)÷2 =(180°－)÷2 =90°－．
∴∠5=∠AMB－∠3= (90°－)－(30°－)=60°．
∴△PMB为等边三角形．  
∵∠6=∠ABM－∠ABC = (90°－)－(60°－)=30°，
∴∠6=∠CBP．
∴BC平分∠PBM．
∴BC垂直平分PM．
∴CP=CM．
∴∠7 =∠3 = 30°－．
∴∠ACP=∠7＋∠3=(30°－)＋(30°－)=60°－．
∴△ACP中，∠APC=180°－∠1－∠ACP
=180°－－(60°－)
=120°＋．  
方法二：在AB上截取AM，使AM=AC，连接PM，延长AP交BC于N，连接MN．（如图9） 

∵AP平分∠CAB，∠CAB=，
∴∠1=∠2==．
在△ACN和△AMN中，
            AC =AM，
∠1 =∠2，
AN=AN，
∴△ACN≌△AMN．  
∴∠3 =∠4．  
∵∠ABC=60°－，
∴∠3=∠2＋∠NBA=＋(60°－) =60°．
∴∠3 =∠4 =60°．
∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．
∴∠4 =∠5．   -∴NM平分∠PNB．
∵∠CBP=30°，
∴∠6=∠3－∠NBP=60°－30°=30°．
∴∠6=∠NBP．
∴NP=NB．
∴NM垂直平分PB．
∴MP=MB．
∴∠7 =∠8．
∴∠6＋∠7 =∠NBP＋∠8，
即∠NPM=∠NBM =60°－．   ∴∠APM=180°－∠NPM =180°－(60°－)=120°＋．
在△ACP和△AMP中，
            AC =AM，
∠1 =∠2，
AP=AP，
∴△ACP≌△AMP．  
∴∠APC=∠APM ． 
∴∠APC=120°＋．