Question

（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.

小题1:（1）求证：点E是边BC的中点；（4分）
小题2:（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；（4分）
小题3:（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由. （4分）

Answer 1

小题1:（1）证明：连接DO，

∵∠ACB=90°，AC为直径， ∴EC为⊙O的切线，
又∵ED也为⊙O的切线， ∴EC=ED.    （2分）
又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°，
又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.
∴EB=EC，即点E是边BC的中点.   
小题2:（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，
∴BC²=BD·BA， ∴（2EC）²= BD·BA，即BA·=36，∴BA=，   （6分）
在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===.
小题3:（3）△ABC是等腰直角三角形.   （9分）
理由：∵四边形ODEC为正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵点E是边BC的中点， ∴BC=2OD=AC, 
∴△ABC是等腰直角三角形.     （12分）

（1）利用EC为⊙O的切线，ED也为⊙O的切线可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知点E是边BC的中点；
（2）解答此题需要运用圆切线和割线的性质和勾股定理求解；
（3）判定△ABC是等腰直角三角形时要用到正方形的性质来求得相等的边．
（1）证明：连接DO；

∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即点E是边BC的中点；
（2）解：∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，
∴BC²=BD?BA，
∴（2EC）²=BD?BA，即BA?2=36，
∴BA=3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC===；
（3）解：△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵四边形ODEC为正方形，
∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵点E是边BC的中点，
∴BC=2OD=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．