Question

8．观察下列等式：（x-1）（x+1）=x²-1，（x-1）（x²+x+1）=x³-1，（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
（1）请你猜想一般规律：（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x²+x+1）=xⁿ-1；
（2）已知x⁴+x³+x²+x+1=0，分别求x⁵-1及x²⁰¹⁰的值．

Answer 1

分析 （1）观察一系列等式即可得到一般性规律；
（2）根据规律得出x⁵-1=（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1），由x⁴+x³+x²+x+1=0即可求得x⁵-1=0，化简x⁵-1=0求出x的值，代入x²⁰¹⁰计算即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x²+x+1）=xⁿ-1，
故答案为xⁿ-1；
（2）∵（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1，x⁴+x³+x²+x+1=0，
∴x⁵-1=（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=0，
∴x⁵=1，
∴x=1，
∴x²⁰¹⁰=1．

点评 此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．