Question

（2011•常州）在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点．直线l₂过点C（a，0）且与直线l₁垂直，其中a＞0．点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，求此时a的值．

Answer 1

解：（1）∵一次函数的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴y=0时，x=﹣4，
∴A（﹣4，0），AO=4，
∵图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，
∴AB=5；
（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t，==t，
又∠PAQ=∠OAB，
∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∵点P在l₁上，
∴⊙Q在运动过程中保持与l₁相切，
①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设l₂与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得：
∴，
∴PQ=6；
连接QF，则QF=PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB，
得：，
∴，
∴，
∴QC=，
∴a=OQ+QC=，
②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l₂与⊙Q相切于E，由△APQ∽△AOB得：=，
∴PQ=，
连接QE，则QE=PQ，由△QEC∽△APQ∽△AOB得：=，
∴，=，
∴QC=，a=QC﹣OQ=，
∴a的值为和，

解析