Question

9．已知二次函数y=x²-2mx+m²+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
（3）将抛物线y=x²-2mx+m²+3（m是常数）图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G，若与直线y=x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出根的判别式，即可得出答案；
（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
（3）求出翻折后所得图象的解析式，然后分别求出原图象和直线，翻折后所得图象与直线有一个交点时的m的值，即可求得新图象为G与直线y=x+2有三个交点时的m的取值．

解答 （1）证明：∵△=（-2m）²-4×1×（m²+3）=4m²-4m²-12=-12＜0，
∴方程x²-2mx+m²+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）解：y=x²-2mx+m²+3=（x-m）²+3，
把函数y=（x-m）²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）²的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x²-2mx+m²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

（3）翻折后所得图象的解析式y=-（x-m）²+3，
①当直线y=x+2与抛物线y=x²-2mx+m²+3有一个交点时，则$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+3}\end{array}\right.$，
整理得，x²-（2m+1）x+m²+1=0
∴△=（2m+1）²-4（m²+1）=0，即m=$\frac{3}{4}$．
②当直线y=x+2与抛物线y=-（x-m）²+3有一个交点时，则$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-（x-m）^{2}+3}\end{array}\right.$，
整理得，x²-（2m-1）x+m²-1=0，
∴△=（2m-1）²-4（m²-1）=0，即m=$\frac{5}{4}$．
∴当$\frac{3}{4}$＜m＜$\frac{5}{4}$时，新图象为G，与直线y=x+2有三个交点．

点评 本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．