Question

15．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x²-6x+8=0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求△OFH的面积；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，利用待定系数法可求得直线BD的解析式；
（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积；
（3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．

解答 解：
（1）解方程x²-6x+8=0可得x=2或x=4，
∵BC、OC的长是方程x²-6x+8=0的两个根，且OC＞BC，
∴BC=2，OC=4，
∴B（-2，4），
∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OD=OC=4，DE=BC=2，
∴D（4，0），
设直线BD解析式为y=kx+b，
把B、D坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$；
（2）由（1）可知E（4，2），
设直线OE解析式为y=mx，
把E点坐标代入可求得m=$\frac{1}{2}$，
∴直线OE解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
令-$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{2}$x，解得x=$\frac{16}{7}$，
∴H点到y轴的距离为$\frac{16}{7}$，
又由（1）可得F（0，$\frac{8}{3}$），
∴OF=$\frac{8}{3}$，
∴S_△OFH=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×$\frac{16}{7}$=$\frac{64}{21}$；
（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴△DFM为直角三角形，
①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，

由（2）可知OF=$\frac{8}{3}$，OD=4，
则有△MOF∽△FOD，
∴$\frac{OM}{OF}$=$\frac{OF}{OD}$，即$\frac{OM}{\frac{8}{3}}$=$\frac{\frac{8}{3}}{4}$，解得OM=$\frac{16}{9}$，
∴M（-$\frac{16}{9}$，0），且D（4，0），
∴G（$\frac{10}{9}$，0），
设N点坐标为（x，y），则$\frac{x+0}{2}$=$\frac{10}{9}$，$\frac{y+\frac{8}{3}}{2}$=0，
解得x=$\frac{20}{9}$，y=-$\frac{8}{3}$，此时N点坐标为（$\frac{20}{9}$，-$\frac{8}{3}$）；
②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，

则有△FOD∽△DOM，
∴$\frac{OF}{OD}$=$\frac{OD}{OM}$，即$\frac{\frac{8}{3}}{4}$=$\frac{4}{OM}$，解得OM=6，
∴M（0，-6），且F（0，$\frac{8}{3}$），
∴MG=$\frac{1}{2}$MF=$\frac{13}{3}$，则OG=OM-MG=6-$\frac{13}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴G（0，-$\frac{5}{3}$），
设N点坐标为（x，y），则$\frac{x+4}{2}$=0，$\frac{y+0}{2}$=-$\frac{5}{3}$，
解得x=-4，y=-$\frac{10}{3}$，此时N（-4，-$\frac{10}{3}$）；
③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，

∵四边形MFND为矩形，
∴NF=OD=4，ND=OF=$\frac{8}{3}$，
可求得N（4，$\frac{8}{3}$）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（$\frac{20}{9}$，-$\frac{8}{3}$）或（-4，-$\frac{10}{3}$）或（4，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的性质等．在（1）中求得B、D坐标是解题的关键，在（2）中联立两直线求得H点的横坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较基础，难度适中．