Question

（2012•汕头模拟）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB=BG=4，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据等腰三角形性质和折叠推出∠2=∠3，∠F=90°，推出OC∥AF，推出∠OCG=90°即可；
（2）根据解直角三角形求出∠COE=60°，根据Ssin60°=

CE

OC

，求出CE长，根据垂径定理求出CD即可．

解答：解：（1）直线FC与⊙O相切，
理由如下：
连接OC，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AF，
∴∠OCG=∠F=90°，
∴OC⊥FG，
∵OC为半径，
∴直线FC与⊙O相切．

（2）解：在Rt△OCG中，cos∠COG=

OC

OG

=

OC

2OB

=

1

2

，
∴∠COG=60°，
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=4

3

．

点评：本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形性质，垂径定理，解直角三角形等知识点的应用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，题型较好．