Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C= 90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF．

（1）求证：∠1= ∠F；

（2）若CD= 3，EF=，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；

（2）由（1）知，AE=EF，AD=BD，AB=，设BD=a，则在Rt△ABC和Rt△ACD中，根据勾股定理可得()2﹣(a+3)2=a2﹣32，解方程即可得.

试题解析：（1）连接DE，

∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，

∵E是AB的中点，∴DA=DB，

∴∠1=∠B，

∵∠B=∠F，

∴∠1=∠F；

（2）由（1）知，AE=EF，AD=BD，AB=，

在Rt△ABC中，AB2-BC2=AC2，

在Rt△ACD中，AD2-CD2=AC2，

所以AB2-BC2= AD2-CD2，

设BD=a，则()2﹣(a+3)2=a2﹣32，

a=﹣8（舍）或a=5，

∴半径为．