Question

5．如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）证明△ABP≌△BCQ，则∠BAP=∠CBQ，从而证明∠CBQ+∠APB=90°，进而得证；
（2）设MQ=MB=x，则MN=x-2．在直角△MBN中，利用勾股定理即可列方程求解；
（3）设AM=y，BN=BC=m+n，在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ-QN=（y+m+n）-m=y+n，利用勾股定理即可求解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．
∴在△ABP和△BCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCQ，
∴∠BAP=∠CBQ．
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CBQ+∠APB=90°，
∴∠BEP=90°，
∴AP⊥BQ；
（2）解：∵正方形ABCD中，AB=3，BP=2CP，
∴BP=2，
由（1）可得NQ=CQ=BP=2，NB=3．
又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，
∴MQ=MB．
设MQ=MB=x，则MN=x-2．
在直角△MBN中，MB²=BN²+MN²，
即x²=3²+（x-2）²，
解得：x=$\frac{13}{4}$，即MQ=$\frac{13}{4}$；
（3）∵BP=m，CP=n，
由（1）（2）得MQ=BM，CQ=QN=BP=m，
设AM=y，BN=BC=m+n，
在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ-QN=（y+m+n）-m=y+n，
（y+m+n）²=（m+n）²+（y+n）²，
即y²+2（m+n）y+（m+n）²=（m+n）²+y²+2ny+n²，
则y=$\frac{{n}^{2}}{2m}$，AM=$\frac{{n}^{2}}{2m}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确利用m和n表示△BMN的边长是关键．