Question

6．定义：对于线段MN和点P，当PM=PN，且∠MPN≤120°时，称点P为线段MN的“等距点”．特别地，当PM=PN，且∠MPN=120°时，称点P为线段MN的“强等距点”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为$（2\sqrt{3}，0）$．

（1）若点B是线段OA的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为（$\sqrt{3}$，1）；
（2）若点C是线段OA的“等距点”，则点C的纵坐标t的取值范围是t≥1或t≤-1；
（3）将射线OA绕点O顺时针旋转30°得到射线l，如图2所示．已知点D在射线l上，点E在第四象限内，且点E既是线段OA的“等距点”，又是线段OD的“强等距点”，求点D坐标．

Answer 1

分析 （1）过点B作BM⊥x轴于点M，根据“强等距点”的定义可得出∠ABO=120°，BO=BA，根据等腰三角形的性质以及特殊角的三角函数值即可求出线段OM、BM的长度，再由点B在第一象限即可得出结论；
（2）结合（1）的结论以及“等距点”的定义，即可得出t的取值范围；
（3）根据“等距点”和“强等距点”的定义可得出相等的线段和角，在直角三角形中利用特殊角的三角函数值即可求出点E的坐标，再通过平行线的性质找出点D的坐标即可．

解答 解：（1）过点B作BM⊥x轴于点M，如图1所示．

∵点B是线段OA的“强等距点”，
∴∠ABO=120°，BO=BA，
∵BM⊥x轴于点M，
∴OM=AM=$\frac{1}{2}$OA=$\sqrt{3}$，∠OBM=$\frac{1}{2}$∠ABO=60°．
在Rt△OBM中，OM=$\sqrt{3}$，∠OBM=60°，
∴BM=$\frac{OM}{tan∠OBM}$=1．
∴点B的坐标为（$\sqrt{3}$，1）或（$\sqrt{3}$，-1），
∵点B在第一象限，
∴B（$\sqrt{3}$，1）．
故答案为：（$\sqrt{3}$，1）．
（2）由（1）可知：线段OA的“强等距点”坐标为（$\sqrt{3}$，-1）或（$\sqrt{3}$，1）．
∵C是线段OA的“等距点”，
∴点C在点（$\sqrt{3}$，1）的上方或点（$\sqrt{3}$，-1）下方，
∴t≥1或t≤-1．
故答案为：t≥1或t≤-1．
（3）根据题意画出图形，如图2所示．

∵点E是线段OA的“等距点”，
∴EO=EA，
∴点E在线段OA的垂直平分线上．设线段OA的垂直平分线交x轴于点F．
∵A（2$\sqrt{3}$，0），
∴F（$\sqrt{3}$，0）．
∵点E是线段OD的“强等距点”，
∴EO=ED，且∠OED=120°，
∴∠EOD=∠EDO=30°．
∵点E在第四象限，
∴∠EOA=60°．
∴在Rt△OEF中，EF=OF•tan∠EOA=3，OE=$\frac{OF}{cos∠EOA}$=2$\sqrt{3}$．
∴E（$\sqrt{3}$，-3）．
∴DE=OE=2$\sqrt{3}$．
∵∠AOD=∠EOD=30°，
∴ED∥OA．
∴D（3$\sqrt{3}$，-3）．

点评 本题考查了解直角三角形、特殊角的三角形函数值、等腰三角形的性质以及平行线的判定及性质，解题的关键是：（1）求出线段OM、BM的长度；（2）求出点C为“强等距点”时得坐标；（3）求出点E的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，读懂题意明白“等距点”和“强等距点”的性质是解题的关键．