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(2007•孝感)在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是:
第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图1);
第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图2).
请解答以下问题:
(1)如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形?请证明你的结论;
(2)在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP?
(3)设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点),为什么?

【答案】分析:(1)根据线段垂直平分线的性质和翻折的性质得到所求三角形的形状;
(2)由作图可得P在BC上,所以BC≥BP;
(3)根据所给的条件可得到M′的坐标,进而求得直线解析式,然后看点A到直线的距离是否等于假设的对应点到直线的距离.
解答:解:(1)△BMP是等边三角形.(1分)
证明:连接AN

∵EF垂直平分AB,
∴AN=BN.
由折叠知AB=BN,
∴AN=AB=BN,∴△ABN为等边三角形,
∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°.(2分)
又∵∠ABM=∠NBM=30°,∠BNM=∠A=90°,
∴∠BPN=60°,
∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°.
∴∠BMP=60°,
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°.
∴△BMP为等边三角形.(4分)

(2)要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP,则BC≥BP(6分)
在Rt△BNP中,BN=BA=a,∠PBN=30°,
∴BP=,∴b≥,∴a≤b.
∴当a≤b时,在矩形上能剪出这样的等边△BMP.(8分)

(3)∵∠M′BC=60°,
∴∠ABM′=90°-60°=30°.
在Rt△ABM′中,tan∠ABM′=
∴tan30°=
∴AM′=
∴M′(,2).代入y=kx中,得k==.(10分)
设△ABM′沿BM′折叠后,点A落在矩形ABCD内的点为A′,
过A作AH⊥BC交BC于H.
∵△ABM′≌△ABM′,
∴∠A'BM'=∠ABM'=30°,A′B=AB=2.
∴∠A'BH=∠M'BH-∠A'BM'=30°.
在Rt△A′BH中,A′H=A′B=1,BH=

∴A′落在EF上.(12分)
点评:本题主要考查了利用折叠得到图形的特性以及三角函数来解决问题.
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A.
B.
C.
D.

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