Question

17．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-nx+$\frac{1}{2}$n²-n+3与x轴有两个不同的交点A、B，顶点为C．
（1）求n的取值范围；
（2）若△ABC的面积是4，求n的值；
（3）当n取不同的值，抛物线的顶点都在某函数的图象上，试求这个函数的表达式，并求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据与x轴有两个不同的交点，可得△≥0，易得n的取值范围；
（2）求得C点坐标，利用三角形的面积公式可得n；
（3）将顶点横坐标用x表示，纵坐标用y表示，可得关于x，y的函数表达式．

解答 解：（1）△=n²-4×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$n²-n+3）＞0，
解得：n＞3；

（2）由公式AB=$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$=2$\sqrt{2n-6}$，
由顶点坐标公式可得C点横坐标x=$-\frac{b}{2a}$=-$\frac{-n}{2×\frac{1}{2}}$=n；
纵坐标y=$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}{n}^{2}-n+3）}{4×\frac{1}{2}}$=3-n，
∴C（n，3-n）
∴$\frac{1}{2}$×|3-n|×$2\sqrt{2n-6}$=4，
解得：n=5；

（3）∵顶点坐标（n，3-n）
即：x=n，y=3-n，
∴y=3-x．（n≥3）

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，关键是熟练掌握：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．