Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，a的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】a＜-或a≥或a=-1

【解析】

根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标，根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．

直线y=4x+4中，令x=0代入直线y=4x+4得y=4，令y=0代入直线y=4x+4得x=-1，
∴A（-1，0），B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
将点A（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a，
∴抛物线的对称轴x=-=1；
∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0）且对称轴x=1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），

①a＞0时，如图1，

将x=0代入抛物线得y=-3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴-3a＜4， a＞-，
将x=5代入抛物线得y=12a，
∴12a≥4，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，

将x=0代入抛物线得y=-3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴-3a＞4，
∴a＜-；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，

将点（1，4）代入抛物线得4=a-2a-3a，
解得a=-1．

综上所述：a＜-或a≥或a=-1．

故答案为：a＜-或a≥或a=-1．