Question

8．若实数a、b使得关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+{a}^{2}≤2a}\\{x+6≥\sqrt{b}}\end{array}\right.$的整数解只有8个，则a+b=1．

Answer 1

分析 先解关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+{a}^{2}≤2a}\\{x+6≥\sqrt{b}}\end{array}\right.$，根据整数解只有8个，得到$\sqrt{b}$-6≤x≤-a²+2a，即（a-1）²≤x+1≤7-$\sqrt{b}$，再根据7-$\sqrt{b}$≤7，（a-1）²≥0，即可得到b=0，a=1，进而得出结论．

解答 解：由不等式x+a²≤2a，得：x≤-a²+2a，
由不等式x+6≥$\sqrt{b}$，得x≥$\sqrt{b}$-6，
∵关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+{a}^{2}≤2a}\\{x+6≥\sqrt{b}}\end{array}\right.$的整数解只有8个，
∴$\sqrt{b}$-6≤x≤-a²+2a，
∴a²-2a≤x≤6-$\sqrt{b}$，
∴a²-2a+1≤x+1≤7-$\sqrt{b}$，
即（a-1）²≤x+1≤7-$\sqrt{b}$，
∵$\sqrt{b}$≥0，
由7-$\sqrt{b}$≤7，可知不大于7-$\sqrt{b}$的正整数最多有7个，
由（a-1）²≥0，可知不小于（a-1）²的非正的整数最多有1个，是0，
∴当7-$\sqrt{b}$=7，（a-1）²=0时，满足不等式组（a-1）²≤x+1≤7-$\sqrt{b}$的整数解有8个，
即当b=0，a=1时，满足不等式组a²-2a≤x≤6-$\sqrt{b}$的整数解有8个，
此时，a+b=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．