Question

12、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为4cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时的时刻为（　　）

A、2秒

B、6秒

C、2秒或6秒

D、4秒或6秒

Answer 1

分析：⊙P与CD相切应有两种情况，一种是在射线OA上，另一种在射线OB上，设对应的圆的圆心分别在M，N两点．当P在M点时，根据切线的性质，在直角△OME中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得OM的长，进而求得PM的长，从而求得由P到M移动的时间；根据ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移动的时间．

解答：解：当⊙P在射线OA上，设⊙P于CD相切于点E，P移动到M时，连接ME．
∵⊙P与直线CD相切，
∴∠OEM=90°
∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠POE=30°
∴OM=2ME=2cm．
则PM=OP-OM=4-2=2cm，
则⊙P移动2秒时与直线CD相切；
当⊙P在射线OB上，设P移动到点N，设⊙P于CD相切于点F．
则ON=OM=2cm．
∴PN=4+2=6cm．
则⊙P移动6秒时与直线CD相切．
∴⊙P与直线CD相切时的时刻为2秒或6秒．
故选C．

点评：本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．