Question

某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系。

（1）试求y与x之间的函数表达式；
（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式（毛利润=销售总价-成本总价）；
（3）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？

Answer 1

解：（1）设y与x之间的函数关系满足y=kx+b把x=40，y=500；x=50，y=400分别代入上式得：
，
解得，
∴y=-10x+900，
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900，
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=-10x+900（30≤x≤80）；
（2）毛利润S=（x-30）·y
=（x-30）（-10x+900）
=-10x²+1200x-27000（30≤x≤80）；
（3）在S=-10x²+1200x-27000中，
∵a=-10＜0，
∴当x=时，
∴S_最大=-10×60²+1200×60-27000=9000（元
）此时每天的销售量为：y=-10×60+900=300（件），
∴当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300。