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已知二次函数y=-
1
2
x2+x+4
(1)确定抛物线的开口方向,顶点坐标和对称轴;
(2)当x为何值时,y取最大(小)值?
(3)抛物线y=-
1
2
x2+x+4是由抛物线y=-
1
2
x2怎样平移得到的?
(4)当x取何值时,y随x的增大而增大?当x取何值时,y随x的增大而减小?
考点:二次函数的性质,二次函数图象与几何变换
专题:
分析:(1)根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向.把抛物线解析式转化为顶点式,然后根据解析式可以直接写出对称轴和顶点坐标;
(2)根据二次函数的顶点式直接写出最值即可;
(3)直接利用二次函数图象平移规律进而得出答案;
(4)根据确定的抛物线的对称轴及开口方向讨论其增减性即可.
解答:解:(1)∵抛物线y=-
1
2
x2+x+4的二次项系数是-
1
2
,-
1
2
<0,
∴该抛物线的开口方向向下.
∵y=-
1
2
x2+x+4=-
1
2
(x-1)2+4.5,
∴该抛物线的对称轴是x=1,顶点坐标是(1,4.5);
(2)y=-
1
2
x2+x+4=-
1
2
(x-1)2+4.5中,当x=1时,y取最大值4.5;
(3)y=-
1
2
x2+x+4=-
1
2
(x-1)2+4.5是由y=-
1
2
x2向右平移1个单位,向上平移4.5个单位得到的;
(4)y=-
1
2
x2+x+4=-
1
2
(x-1)2+4.5当x<1时y随着x的增大而增大,当x>1时y随着x的增大而减小.
点评:本题考查了二次函数的性质和二次函数的解析式的形式.二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数);
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k;
(3)交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2).
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