如图1.Rt△ABC中.∠B=90°.BC=4$\sqrt{3}$.点P是射线AB上动点.点E在边AC上.AE=PE.过点P作PE的垂线交射线AC于点F,若AP=x.△PEF与△ABC重合的部分面积为S.S关于x的函数图象如图2所示(其中0＜x≤8.8＜x≤12.12＜x＜b时.函数的解析式不同)(1)求a的值,(2)当P与B重合时.求x的值,(3)小明观察图形后提出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4$\sqrt{3}$，点P是射线AB上动点，点E在边AC上，AE=PE，过点P作PE的垂线交射线AC于点F；若AP=x，△PEF与△ABC重合的部分面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤8，8＜x≤12，12＜x＜b时，函数的解析式不同）
（1）求a的值；
（2）当P与B重合时，求x的值；
（3）小明观察图形后提出猜想“当点F与点C重合时S最大”，请说明小明的猜想是否正确，如果正确，求出最大值，如果不正确，请说明理由．
（4）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

分析（1）观察图象即可得出结论．
（2）观察图象可得结论．
（3）小明的猜想错误．当点F与点C重合时，由图2可知，S=m，m表示S的最大值．
（4）分三种情形①0＜x≤8，②8＜x≤12，③12＜x＜24时，分别求解即可．

解答解：（1）由图象可知，a=8．

（2）观察图象可知，P与B重合时，x=12．

（3）小明的猜想错误．当点F与点C重合时，由图2可知，S=m，m表示S的最大值．

（4）由题意，BC=4$\sqrt{3}$，AB=12，
∴tan∠A=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°，
∵EA=EP，
∴∠EAP=∠EPA=30°，
∴∠FEP=∠EAP+∠EPA=60°，
①如图1中，当0＜x≤8时，重叠部分是△EPF，

∴S=$\frac{1}{2}$•EP•PF=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²
②如图3中，当8＜x≤12时，重叠部分是四边形EPMC，

S=S_△EPF-S_△CFM=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}x-8\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}x-8\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{7\sqrt{3}}{12}$x²+12$\sqrt{3}$-48$\sqrt{3}$．
③当12＜x＜24时，重叠部分是等边三角形△ECM，

S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（8$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²=$\frac{\sqrt{3}}{12}$x²-4$\sqrt{3}$x+48$\sqrt{3}$．
综上所述S=.$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}}&{（0＜x≤8）}\\{-\frac{7\sqrt{3}}{12}{x}^{2}+12\sqrt{3}x-48\sqrt{3}}&{（8＜x≤12）}\\{\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^{2}-4\sqrt{3}x+48\sqrt{3}}&{（12＜x＜24）}\end{array}\right.$．

点评本题考查动点问题函数图象、30度的直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，体现了数形结合的数学思想，学会用分段函数表示函数解析式，属于中考常考题型．

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