Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．
（1）求BE的长；
（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算,平移的性质,相似三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：（1）连接OG，先根据勾股定理计算出BC=5，再根据平移的性质得AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF与半圆O相切于点G，根据切线的性质得OG⊥EF，然后证明Rt△EOG∽Rt△EFD，利用相似比可计算出OE=

10

3

，所以BE=OE-OB=

4

3

；
（2）求出BD的长度，然后利用相似比例式求出DH的长度，从而求出△BDH，即阴影部分的面积．

解答：解：（1）连结OG，如图，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=

AB2+AC2

=5，
∵Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，
∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，
∵EF与半圆O相切于点G，
∴OG⊥EF，
∵AB=4，线段AB为半圆O的直径，
∴OB=OG=2，
∵∠GEO=∠DEF，
∴Rt△EOG∽Rt△EFD，
∴

OE

EF

=

OG

DF

，即

OE

5

=

2

3

，解得OE=

10

3

，
∴BE=OE-OB=

10

3

-2=

4

3

；

（2）BD=DE-BE=4-

4

3

=

8

3

．
∵DF∥AC，
∴△ABC∽△DBH，
∴

DH

AC

=

BD

AB

，即

DH

3

=

8 3

4

，
解得：DH=2．
∴S_阴影=S_△BDH=

1

2

BD•DH=

1

2

×

8

3

×2=

8

3

，
即Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积为

8

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．