Question

【题目】已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．

（1）求证：BE=DG；
（2）已知tanB= ，AB=5，若四边形ABFG是菱形，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB=CD，

∵AE⊥BC，CG∥AE，

∴CG⊥AD，

∴∠AEB=∠CGD=90°，AE=CG，

在Rt△ABE和Rt△CDG中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG，

∴BE=DG．

（2）解：∵tanB= = ，设AE=4k，BE=3k，

∵AB2=AE2+BE2，

∴52=（3k）2+（4k）2，

∴k=1，

∴AE=4，BE=3，

∵四边形ABFG是菱形，

∴AG=AB=5，

∵四边形AGCE是矩形，

∴AG=EC=5，

∴BC=3+5=8，

∴S平行四边形ABCD=BCAE=32．

【解析】根据平移的性质得出CG⊥AD、AE=CG，根据直角三角形全等判定方法，证明Rt△ABE≌Rt△CDG，即可求证结论。
（2）根据tanB及AB的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理及解直角三角形，易求得AE、BE的长，由四边形ABFG是菱形，求出AG的值，四边形AGCE是矩形，求出EC、BC的值，即可求出平行四边形ABCD的面积。
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分，以及对菱形的性质的理解，了解菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．