Question

已知：，，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。

【小题1】（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；
【小题2】（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小。

Answer 1

【小题1】（1）①如图11，作AE⊥PB于点E．
∵△APE中，∠APE=45°，，
∴，
                ．
∵，
∴．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴．…………1分
②解法一：如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△，
可得△≌△，,．
∴=90°，=45°，=90°．
∴．分
∴．…………2分
              解法二：如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的  延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，可得
，
，．
在Rt△PFG中，可得，．
在Rt△PDF中，可得
．
【小题2】（2）如图14所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△， PD 的最大值即为的最大值.
∵△中，，，，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当三点共线时，取得最大值（见图15）.
此时，即的最大值为6. …………4分
       此时∠APB=180°－=135°. …………5分
 
 
 
 

解析