Question

如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是1，

AC

=

DE

，∠ABC=45°，求OH的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OC，利用AB是⊙O的直径，得出∠ACB=∠FCG=90°，再由P是GF的中点，在Rt△FCG中得出∠PCG=∠PGC，然后利用角的关系得出PC是⊙O的切线；
（2）连接OE，交AC于点M，由AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，得出

AD

=

DE

，由

AC

=

DE

，可得出

AE

=

EC

，得出△AOM是等腰直角三角形，可求出OM，因为OH=OM所以求出OM即可．

解答：解：（1）如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠FCG=90°，
∵P是GF的中点，
∴PC=PF=PG，
∴∠PCG=∠PGC，
∵∠PGC=∠HGA，DE⊥AB
∴∠A+∠HGA=90°，
∴∠A+∠PGC=90°，
∵∠A=∠ACO，
∴∠ACO+∠HGA=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接OE，交AC于点M，

∵AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，
∴

AD

=

AE

，
∵

AC

=

DE

，
∴

AE

=

EC

，
∴OE⊥AC，
∴∠OMA=90°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠AOM=45°，
∵AO=1，
∴OM=

2

2

，
∵

AC

=

DE

，
∴AC=DE，OH=OM，
∴OH=OM=

2

2

．

点评：本题主要考查了切线的判定，解题的关键是正确作出辅助线利用圆的有关知识求解．