Question

在一次足球赛中，甲运动员在距对方球门AB正前方19.8m的点O处起跳到距地面2m的点C处接队友的传球，用头球攻对方球门，球门AB的高度为2.44m，球的运动轨迹看作抛物线的一部分，当球运动到最高点M时的高度为6m，离甲运动员起跳点O的水平距离为10m，以O为原点建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的解析式；（不写自变量的取值范围）
（2）若球在运动中没有被拦截，问球能否进球门？
（3）若此时守门员正站在球门正前方4.8m的点P处，守门员后退中起跳的最大高度为2.4m，为了将球拦截，守门员应向球门方向至少后退多少m？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）将点M和点C的坐标代入二次函数的顶点式，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）代入x=19.8求得y值后与2.44米比较即可确定能否进入球门；
（3）代入y=2.4求得x值减去15米即可求得后退的距离．

解答：解：（1）由题意得：M（10，6），C（0，2），
设抛物线的解析式为y=a（x-h）²+k，
∵顶点为M，
∴y=a（x-10）²+6，
∵经过点C，
∴2=a（0-10）²+6，
解得：a=-

1

25

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

25

（x-10）²+6；

（2）由题意得：B（19.8，0），
所以当x=19.8时，y=-

1

25

（19.8-10）²+6=2.1584＜2.44，
故球能进球门；

（3）当y=2.4时，y=-

1

25

（x-10）²+6=2.4，
解得：x=10+3

10

或x=10-3

10

（舍去），
∵当守门员正站在球门正前方4.8m的点P处距离点O19.8-4.8=15米，
∴守门员应该向后退10+3

10

-15=（3

10

-5）米，
∴为了将球拦截，守门员应向球门方向至少后退（3

10

-5）m．

点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数的模型，解题的关键是具有数学建模的数学思想．