如图1.在梯形ABCD中.AD∥BC.对角线AC⊥BC.AD=8cm.∠D=45°.BC=6cm．(1)求cos∠B的值,(2)点E为BC延长线上的动点.点F在线段CD上.且满足∠AFC=∠ADE.如图2.设BE=x.DF=y.求y关于x的函数解析式.并写出函数的定义域,(3)点E为射线BC上的动点.点F在射线CD上.仍然满足∠AFC=∠ADE.当△AFD的面积为3cm2时.求BE� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD=8cm，∠D=45°，BC=6cm．
（1）求cos∠B的值；
（2）点E为BC延长线上的动点，点F在线段CD上（点F与点C不重合），且满足∠AFC=∠ADE，如图2，设BE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）点E为射线BC上的动点，点F在射线CD上，仍然满足∠AFC=∠ADE，当△AFD的面积为3cm²时，求BE的长．

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）要求cos∠B的值，由条件知道△ACB是直角三角形，然后根据余弦定义就可以求出．
（2）要求函数的解析式，需要运用∠AFC=∠ADE 寻找相似三角形，利用线段比来代换y与x之间的关系，找三角形相似是关键．
（3）要求BE的长，点E存在两种情况，再运用（2）的相似结论，根据相似三角形的面积比得关系就可以求出BE的长．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠DAC=90°．
∵∠D=45°，
∴∠ACD=45°．
∴AD=AC．
∵AD=8cm，
∴AC=8cm．
∵BC=6cm，
∴AB=

AC2+BC2

=10cm．
∴cos∠B=

．

（2）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DCE．
∵∠AFC=∠FDA+∠FAD，∠ADE=∠FDA+∠EDC，
又∵∠AFC=∠ADE，
∴∠FAD=∠EDC．
∴△ADF∽△DCE．
∴

．
在Rt△ADC中，DC²=AD²+AC²，
∵AD=AC=8cm，
∴DC=8

cm．
∵BE=xcm，
∴CE=（x-6）cm．
又∵DF=ycm，
∴

x-6

．
∴y=

x-3

．
定义域为6＜x＜22．

（3）当点E在BC的延长线上，由（2）可得：△ADF∽△DCE，
∴

S△ADF

S△DCE

=（

）²，
∵S_△AFD=3cm²，AD=8cm，DC=8

cm，
∴S_△DCE=6cm²．
∵S_△DCE=

×CE×AC，
∴

×（BE-6）×8=6，
∴BE=7.5cm．

如图3，当点E在线段BC上，
由（2）△ADF∽△DCE，
∴

S△ADF

S△DCE

=（

）²，
∵S_△AFD=3cm²，AD=8cm，DC=8

cm，
∴S_△DCE=6cm²．
∴S_△DCE=

×（6-BE）×8=6．
∴BE=4.5cm．
所以BE的长为7.5cm或4.5cm．

点评：本题考查了相似形综合题，涉及了相似三角形的判定与性质，勾股定理、梯形、等腰三角形的性质及解直角三角形等多个知识点．

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