Question

7．某工厂计划生产A、B两种产品共80件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金80元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金205元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过17000元，且生产B产品要不低于37件，问有哪几种符合条件的生产方案？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费55元，生产一件B产品需加工费60元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？

Answer 1

分析 （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，根据“购买价格=甲材料单价×数量+乙材料单价×数量”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设生产B产品a件，生产A产品（80-a）件．根据“购买材料钱=生产A产品的件数×A产品所需材料钱+生产B产品的件数×B产品所需材料钱”结合购买资金不能超过17000元得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（3）设生产成本为W元，根据数量关系寻找出W关于a的函数关系式，由一次函数的单调性即可得出结论．

解答 解：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}x+y=80\\ 2x+3y=205\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=35\\ y=45\end{array}\right.$．
答：甲种材料每千克35元，乙种材料每千克45元．
（2）设生产B产品a件，生产A产品（80-a）件．
依题意得：（35×4+45×1）（80-a）+（45×3+35×3）a≤17000，解得：a≤40．
又∵a≥37，
∴37≤a≤40．
∵a的值为非负整数，
∴a=37、38、39、40；
答：共有如下四种方案：

A（件）	43	42	41	40
B（件）	37	38	39	40

（3）生产A产品43件，B产品37件成本最低．理由如下：
设生产成本为W元，则W与a的关系式为：
W=（35×4+45×1+55）（80-a）+（45×3+35×3+60）a=60a+19200，
即W是a的一次函数，
∵k=60＞0，
∴W随a增大而增大．
∴当a=37时，总成本最低；
即生产A产品43件，B产品37件成本最低．

点评 本题考查了一次函数的应用，解二元一次方程组以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据数量关系找出二元一次方程组；（2）根据数量关系列出一元一次不等式；（3）根据数量关系找出W关于a的函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系得出方程（方程组、或不等式）是关键．