Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，将线段AB平移至DE，连接AE、AD、EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当点D是BC的中点时，求证：四边形ADCE是矩形．

Answer 1

分析 （1）利用SAS证得△ACD≌△ECD后即可证得AD=EC；
（2）当点D是BC中点时，四边形ADCE是矩形；首先证得四边形ADCE是平行四边形，然后证得AD⊥BC即可利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．

解答 （1）证明：∵将线段AB平移至DE，
∴AB=DE，AB∥DE．
∴∠EDC=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB，DE=AC
∴∠EDC=∠ACB，
在△ADC与△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DE}\\{∠EDC=∠ACB}\\{DC=CD}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△ECD（SAS），
∴AD=EC；

（2）∵将线段AB平移至DE，
∴AB=DE，AB∥DE．
∴四边形ABDE为平行四边形．
∴BD=AE，
∵点D是BC的中点．
∴BD=DC，
∴AE=DC，
∵AD=EC，
∴四边形ADCE为平行四边形．
∵AB=AC，点D是BC的中点
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE为矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，能够正确的结合图形理解题意是解答本题的关键，难度不大．