【题目】在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,点M为BC边上一动点(点M与点B、C不重合),连接AM,过点M作MN⊥AM,垂足为M,MN交CD或CD的延长线于点N.
(1)求证:△CMN∽△BAM;
(2)设BM=x,CN=y,求y关于x的函数解析式.当x取何值时,y有最大值,并求出y的最大值;
(3)当点M在BC上运动时,求使得下列两个条件都成立的b的取值范围:①点N始终在线段CD上,②点M在某一位置时,点N恰好与点D重合.
【答案】(1)证明见试题解析;(2),当x=时,y取最大值,为;(3)b=2a.
【解析】
试题分析:(1)由矩形的性质可得∠B=∠C=90°,要证△CMN∽△BAM,只需证∠BAM=∠CMN即可;
(2)由△CMN∽△BAM即可得到y与x的函数解析式,然后只需运用配方法就可求出y的最大值;
(3)由点M在BC上运动(点M与点B、C不重合),可得0<x<b,要满足条件①,应保证当0<x<b时,y≤a恒成立,要满足条件②,需存在一个x,使得y=a,综合条件①和②,当0<x<b时y最大值应为a,然后结合(2)中的结论,就可解决问题.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAM+∠AMB=90°.∵MN⊥AM,即∠AMN=90°,∴∠CMN+∠AMB=90°,∴∠BAM=∠CMN,∴△CMN∽△BAM;
(2)∵△CMN∽△BAM,∴.∵BM=x,CN=y,AB=a,BC=AD=b,∴,∴=.∵<0,∴当x=时,y取最大值,最大值为;
(3)由题可知:当0<x<b时,y的最大值为a,即=a,解得:b=2a.∴要同时满足两个条件,b的值为2a.
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【题目】广州市某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动,了解学校1200名学生一年内阅读书籍的数量,随机抽取部分学生进行统计,绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图.请根据图表,解答下面的问题:
分组 | 频数 | 频率 |
0≤x<5 | 4 | 0.08 |
5≤x<10 | 14 | 0.28 |
10≤x<15 | 16 | a |
15≤x<20 | b | c |
20≤x<25 | 10 | 0.2 |
合计 | d | 1.00 |
(1)a= , b= , c= , d= .
(2)补全频数分布直方图.
(3)根据该样本,估计该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数.
(4)如果阅读书籍数量在10本或以上的人数占总人数的70%以上,那么该校能评为“书香校园”,请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉,并说明理由.
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【题目】下列运算正确的是( )
A.﹣2x2y3xy2=﹣6x2y2
B.(﹣x﹣2y)(x+2y)=x2﹣4y2
C.6x3y2÷2x2y=3xy
D.(4x3y2)2=16x9y4
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【题目】如图,点A从原点出发沿数轴向左运动,同时,点B也从原点出发沿数轴向右运动,4秒后,两点相距16个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的3倍(速度单位:单位长度/秒).
(1)求出点A、点B运动的速度,并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动4秒时的位置;
(2)若A、B两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动,再过几秒时,原点恰好处在AB的中点?
(3)若A、B两点从(1)中的位置开始,仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时,另一点C同时从原点O位置出发向B点运动,且C的速度是点A的速度的一半;当点C运动几秒时,C为AB的中点?
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【题目】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧().
(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心O;(要求保留作图痕迹,不写作法)
(2)若的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m,求所在圆的半径.
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【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
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【题目】阅读发现:如图①,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠ACB=90°,AD为∠BAC的平分线,且交BC于D,我们发现在AB上截取AE=AC,连结DE,可得AB=AC+CD(不需证明).
(1)探究:如图②,当∠ACB≠90°时,其他条件不变,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系,写出结果,并证明;
(2)拓展:如图③,当∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°时,AD为△ABC的外角∠CAF的平分线,且交BC的延长线于点D,则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?写出你的猜想,不需证明.
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【题目】若∠α与∠β的两边分别平行,且∠α =(x+10)°,∠β =(2x-25)°,则∠α的度数为( )
A.45° B.75° C.45°或75° D.45°或55°
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【题目】如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm.射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)连接EF,当EF经过AC边的中点D时,求证:△ADE≌△CDF;
(2)填空: ①当t为s时,四边形ACFE是菱形;
②当t为s时,以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形.
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