Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（ ）
A. =
B.AD，AE将∠BAC三等分
C.△ABE≌△ACD
D.S△ADH=S△CEG

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵∠B=∠C=36°， ∴AB=AC，∠BAC=108°，
∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DB=DA，EA=EC，
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴△BDA∽△BAC，
∴ ，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=CA=BA，
∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB，
则 = ，即 = ，故A错误；
∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°，
即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，
∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
∵ ，
∴△BAE≌△CAD，故C正确；
由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD ， 即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE ，
∴S△BAD=S△CAE ，
又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴S△ADH= S△ABD ， S△CEG= S△CAE ，
∴S△ADH=S△CEG ， 故D正确．
故选：A．
由题意知AB=AC、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA∽△BAC，得 ，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，进而根据黄金分割定义知 = ，可判断A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B；根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE ， 根据DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG ， 可判断D．