Question

17．如图，在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（1，0），第二象限内的有一点C坐标为（a，b），AB=AC，∠C=30°．
（1）求a的值；
（2）试探究BM与CM的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥x轴于D，则∠CDB=90°，由点的坐标得出OA=OB=1，AB=2，由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=30°，求出∠DCA=30°，由含30°角的直角三角形得出AD=$\frac{1}{2}$AC=1，得出OD=2，得出a=-2即可；
（2）由（1）得出OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，含30°角的直角三角形的性质得出BC=2CD=2$\sqrt{3}$，BM=2OM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，得出BC=3BM，即可得出结论．

解答 解：（1）作CD⊥x轴于D，如图所示：
则∠CDB=90°，∵A（-1，0），B（1，0），
∴OA=OB=1，∴AB=2，
∵AB=AC，∠ACB=30°．
∴AC=2，∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=60°，
∴∠DCA=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴OD=2，
∴a=-2；
（2）CM=2BM；理由如下：
由（1）得：OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，
∵∠DAC=∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2$\sqrt{3}$，BM=2OM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴BC=3BM，
∴CM=2BM．

点评 本题考查了坐标与图形性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度不大，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．