Question

已a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有两个相等的实根且sinB•cosA-cosB•sinA=0，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形

Answer 1

【答案】分析：由于关于x的方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有两个相等的实根，所以判别式（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，解可得：a²+b²-c²=0，即a²+b²=c²；
又已知sinB•cosA-cosB•sinA=0，可得tanA=tanB，故A=B．
根据这两个条件可以判断△ABC的形状为等腰直角三角形．
解答：解：∵关于x的方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有两个相等的实根，
∴（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，
化简，得a²+b²-c²=0，
即a²+b²=c²．
又∵sinB•cosA-cosB•sinA=0，
∴tanA=tanB，
故∠A=∠B，
∴a=b，
所以△ABC的形状为等腰直角三角形．
故选D．
点评：主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，这些性质和规律要求学生熟练掌握．