Question

【题目】如图，等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D，∠ABC 的平分线分别交 AC，AD 于E，F，点M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于N，连接 DM，NF，EN．下列结论：①△AFE为等腰三角形；②△BDF≌△ADN；③NF所在的直线垂直平分AB；④DM平分∠BMN；⑤AE＝EN＝NC；⑥．其中正确结论的个数是( )

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE，可判断△AEF为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，由题意可得BF>BD=AD,所以BFAF,所以点F不在线段AB的垂直平分线上，所以③不正确，由∠ADB=∠AMB=90°， 可知A、B、D、M四点共圆， 可求出∠ABM=∠ADM=22.5°，继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°， 即可求出DM平分∠BMN ,所以④正确；根据全等三角形的性质可得△AFB≌△CAN， 继而可得AE=CN，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN，所以⑤正确；根据等腰三角形的判定可得△BAN是等腰三角形，可得BD=AB，继而可得,由⑤可得,所以⑥正确.

解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，

∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE，

∴△AEF为等腰三角形，所以①正确；

∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，

∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，

∴∠BAD=45°=∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE= ∠ABC=22.5°，

∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，

∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，

∴AF=AE，AM⊥BE，

∴∠AMF=∠AME=90°，

∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，

在△FBD和△NAD中,

∠FBD＝∠DAN ,BD＝AD ,∠BDF＝∠ADN ，

∴△FBD≌△NAD，所以②正确；

因为BF>BD=AD,

所以BFAF,

所以点F不在线段AB的垂直平分线上，所以③不正确

∵∠ADB=∠AMB=90°，

∴A、B、D、M四点共圆，

∴∠ABM=∠ADM=22.5°，

∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，

∴DM平分∠BMN ,所以④正确；

在△AFB和△CNA中，

∠BAF＝∠C＝45°,AB＝AC, ∠ABF＝∠CAN＝22.5°,

∴△AFB≌△CAN（ASA），

∴AF=CN，

∵AF=AE，

∴AE=CN，

∵AE=AF，FM=EM，

∴AM⊥EF，

∴∠BMA=∠BMN=90°，

∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，

∴△MBA≌△MBN，

∴AM=MN，

∴BE垂直平分线段AN，

∴AB=BN，EA=EN，

∵BE=BE，

∴△ABE≌△NBE，

∴∠ENB=∠EAB=90°，

∴EN⊥NC．

∴△ENC是等腰直角三角形,

∴AE=CN=EN，所以⑤正确；

∵AF=FN,

所以∠FAN =∠FNA,

因为∠BAD =∠FND=45°,

所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,

所以∠BAN =∠BNA,

所以AB=BN,

所以，

由⑤可知，△ENC是等腰直角三角形，AE=CN=EN，

∴,

所以，所以⑥正确,

故选D.