Question

2．如图，一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．
（1）求点C的坐标；
（2）在射线DC上求一点P，使得PC=AC，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B两点的坐标各是多少；然后将△AOB沿直线CD折起，点A与点B重合，可得CD垂直平分AB，据此求出点D的坐标以及CD所在的直线的斜率，进而求出CD所在的直线的解析式以及点C的坐标即可．
（2）首先求出AC=4，再根据点P是射线DC上的一点，设点P的坐标是（x，$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$）（x＜3），然后根据PC=AC=4，列出方程，求出x的值是多少，进而求出点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，
∴A（6，0）、B（0，2$\sqrt{3}$），
∵将△AOB沿直线CD折起，点A与点B重合，
∴CD垂直平分AB，
∴点D的坐标是（3，$\sqrt{3}$），
∴CD所在的直线的斜率是：$\frac{-1}{-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，
∴CD所在的直线的解析式是：y=$\sqrt{3}$（x-3）$+\sqrt{3}$=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$，
∴点C的坐标是（2，0）．

（2）∵A（6，0）、C（2，0），
∴AC=6-2=4，
∵点P是射线DC上的一点，
∴设点P的坐标是（x，$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$）（x＜3），
∵PC=AC=4，
∴（x-2）²+${（\sqrt{3}x-2\sqrt{3}）}^{2}$=4²=16，
整理，可得x²-4x=0，
解得x=0或x=4，
∵x＜3，
∴x=4不符合题意，
∴点P的坐标是（0，-2$\sqrt{3}$）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直线解析式的求法，以及一元二次方程的解法，要熟练掌握．