Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD一侧作正方形ADEF（如图1）．

（1）如果AB＝AC，且点D在线段BC上运动，证明：CF⊥BD；

（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；

（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝4，CD＝2，求线段CP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．理由见解析；（3）线段CP的长为2﹣或2+．

【解析】

（1）证出∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠BAD＝∠CAF；可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，得出∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证△GAD≌△CAF（SAS），得出∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．

（3）分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣2＝2，易证△AQD∽△DCP，得出对应边成比例，即可得出CP＝；②点D在线段BC延长线上运动时，同理得出CP＝．

（1）证明：∵四边形ADEF是正方形，

∴∠DAF＝90°，AD＝AF，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△BAD和△CAF中，，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠ABD＝45°

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝∠ABD＝45°

∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，

∴CF⊥BD；

（2）解：如图2所示：AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．理由如下：

过点A作GA⊥AC交BC于点G，

则∠GAD＝∠CAF＝90°+∠CAD，

∵∠ACB＝45°，

∴∠AGD＝45°，

∴AC＝AG，

在△GAD和△CAF中， ，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF＝∠AGD＝45°，

∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，

∴CF⊥BD；

（3）解：过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，

①点D在线段BC上运动时，如图3所示：

∵∠BCA＝45°，

∴△ACQ是等腰直角三角形，

∵AC＝4

∴AQ＝CQ＝AC＝．

∴DQ＝CQ﹣CD＝﹣2，

∵AQ⊥BC，∠ADE＝90°，

∴∠DAQ+∠ADQ＝∠ADQ+∠PDC＝90°，

∴∠DAQ＝∠PDC，

∵∠AQD＝∠DCP＝90°，

∴△DCP∽△AQD，

∴，即，

解得：CP＝2﹣；

②点D在线段BC延长线上运动时，如图4所示：

∵∠BCA＝45°，

∴AQ＝CQ＝，

∴DQ＝AQ+CD＝+2．

∵AQ⊥BC于Q，

∴∠Q＝∠FAD＝90°，

∵∠C′AF＝∠C′CD＝90°，∠AC′F＝∠CC′D，

∴∠ADQ＝∠AFC′，

则△AQD∽△AC′F．

∴CF⊥BD，

∴△AQD∽△DCP，

∴，即，

解得：CP＝，

综上所述，线段CP的长为或．