Question

【题目】如图，是等边三角形，分别是边上的点，且，且交于点，且，垂足为．

(1)求证: ;

(2)若，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【解析】

（1）证明△ACE≌△CBF（SAS），即可证得结论；
（2）利用由（1）知∠ACE=∠CBF，求出∠BPE=60°，又EG⊥BF，即∠PGE=90°，得到∠GEP=30°，根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．

∵△ABC为等边三角形，
∴AC =BC，∠A=∠BCF=60°，
在△ACE和△CBF中，，

∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF；

（2）由（1）知∠ACE=∠CBF，
又∠ACE +∠BCE=∠ACB=60°，
∴∠CBF +∠BCE =60°，
∵∠CBF +∠BCE =∠BPE，
∴∠BPE=60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE=90°，
∴∠GEP=30°，
∴在Rt△BCE中，

PE=2PG=2．